home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ 500 MB Nyheder Direkte fra Internet 2 / 500 MB nyheder direkte fra internet CD 2.iso / start / data / text / meno210.txt < prev    next >
Text File  |  1995-04-06  |  43KB  |  1,108 lines
  1. *****Project Gutenberg's Etext of the Second Story of Meno*****
  2. **A Socratic Dialogue Proving the Square Root of 2 Irrational**
  3.  
  4. **This is a COPYRIGHTED Project Gutnberg Etext, Details Below**
  5.  
  6. Second Story of Meno (C)1995
  7.  
  8.  
  9. Please take a look at the important information in this header.
  10. We encourage you to keep this file on your own disk, keeping an
  11. electronic path open for the next readers.  Do not remove this.
  12.  
  13.  
  14. **Welcome To The World of Free Plain Vanilla Electronic Texts**
  15.  
  16. **Etexts Readable By Both Humans and By Computers, Since 1971**
  17.  
  18. *These Etexts Prepared By Hundreds of Volunteers and Donations*
  19.  
  20. Information on contacting Project Gutenberg to get Etexts, and
  21. further information is included below.  We need your donations.
  22.  
  23.  
  24. Second Story of Meno (C)1995onic Frontier Foundation [EFF]
  25.  
  26. April, 1995  [Etext #254]
  27.  
  28.  
  29. ******The Project Gutenberg Etext of Second Story of Meno*******
  30. *******This file should be named meno210.txt or meno210.zip*******
  31.  
  32. Corrected EDITIONS of our etexts get a new NUMBER, meno211.txt
  33.  
  34.  
  35. The official release date of all Project Gutenberg Etexts is at
  36. Midnight, Central Time, of the last day of the stated month.  A
  37. preliminary version may often be posted for suggestion, comment
  38. and editing by those who wish to do so.  To be sure you have an
  39. up to date first edition [xxxxx10x.xxx] please check file sizes
  40. in the first week of the next month.  Since our ftp program has
  41. a bug in it that scrambles the date [tried to fix and failed] a
  42. look at the file size will have to do, but we will try to see a
  43. new copy has at least one byte more or less.
  44.  
  45.  
  46. Information about Project Gutenberg (one page)
  47.  
  48. We produce about two million dollars for each hour we work.  The
  49. fifty hours is one conservative estimate for how long it we take
  50. to get any etext selected, entered, proofread, edited, copyright
  51. searched and analyzed, the copyright letters written, etc.  This
  52. projected audience is one hundred million readers.  If our value
  53. per text is nominally estimated at one dollar, then we produce 2
  54. million dollars per hour this year we, will have to do four text
  55. files per month:  thus upping our productivity from one million.
  56. The Goal of Project Gutenberg is to Give Away One Trillion Etext
  57. Files by the December 31, 2001.  [10,000 x 100,000,000=Trillion]
  58. This is ten thousand titles each to one hundred million readers,
  59. which is 10% of the expected number of computer users by the end
  60. of the year 2001.
  61.  
  62. We need your donations more than ever!
  63.  
  64. All donations should be made to "Project Gutenberg/IBC", and are
  65. tax deductible to the extent allowable by law ("IBC" is Illinois
  66. Benedictine College).  (Subscriptions to our paper newsletter go
  67. to IBC, too)
  68.  
  69. For these and other matters, please mail to:
  70.  
  71. Project Gutenberg
  72. P. O. Box  2782
  73. Champaign, IL 61825
  74.  
  75. Internet:      dircompg@ux1.cso.uiuc.edu
  76. Bitnet:        dircompg@uiucux1
  77. CompuServe:    >internet:dircompg@.ux1.cso.uiuc.edu
  78. Attmail:       internet!ux1.cso.uiuc.edu!dircompg
  79.  
  80. When all other email fails try our Michael S. Hart, Executive
  81. Director:
  82. hart@vmd.cso.uiuc.edu (internet)   hart@uiucvmd   (bitnet)
  83.  
  84. We would prefer to send you this information by email
  85. (Internet, Bitnet, Compuserve, ATTMAIL or MCImail).
  86.  
  87. ******
  88. If you have an FTP program (or emulator), please
  89. FTP directly to the Project Gutenberg archives:
  90. [Mac users, do NOT point and click. . .type]
  91.  
  92. ftp mrcnext.cso.uiuc.edu
  93. login:  anonymous
  94. password:  your@login
  95. cd etext/etext90 though etext/etext95
  96. or cd etext/articles 
  97. dir [to see files]
  98. get or mget [to get files. . .set bin for zip files]
  99. get INDEX?00.GUT
  100. for a list of books
  101. and
  102. get NEW.GUT for general information
  103. and
  104. mget GUT* for newsletters.
  105.  
  106. **Information prepared by the Project Gutenberg legal advisor**
  107. (Three Pages)
  108.  
  109. ***START** SMALL PRINT! for COPYRIGHT PROTECTED ETEXTS ***
  110. TITLE AND COPYRIGHT NOTICE:
  111.  
  112. Big Dummy's Guide To The Internet
  113. (C)1993, 1994  by the Electronic Frontier Foundation [EFF]
  114.  
  115. This etext is distributed by Professor Michael S. Hart through
  116. the Project Gutenberg Association at Illinois Benedictine College
  117. (the "Project") under the Project's "Project Gutenberg" trademark
  118. and with the permission of the etext's copyright owner.
  119.  
  120. LICENSE
  121. You can (and are encouraged!) to copy and distribute this
  122. Project Gutenberg-tm etext.  Since, unlike many other of the
  123. Project's etexts, it is copyright protected, and since the
  124. materials and methods you use will effect the Project's
  125. reputation,
  126. your right to copy and distribute it is limited by the copyright
  127. laws and by the conditions of this "Small Print!" statement.
  128.  
  129.   [A]  ALL COPIES: The Project permits you to distribute
  130. copies of this etext electronically or on any machine readable
  131. medium now known or hereafter discovered so long as you:
  132.  
  133.      (1)  Honor the refund and replacement provisions of this
  134. "Small Print!" statement; and
  135.  
  136.      (2)  Pay a royalty to the Project of 20% of the net
  137. profits you derive calculated using the method you already use
  138. to calculate your applicable taxes.  If you don't derive
  139. profits, no royalty is due.  Royalties are payable to "Project
  140. Gutenberg Association / Illinois Benedictine College" within
  141. the 60 days following each date you prepare (or were legally
  142. required to prepare) your annual (or equivalent periodic) tax
  143. return.
  144.  
  145.   [B]  EXACT AND MODIFIED COPIES: The copies you distribute
  146. must either be exact copies of this etext, including this
  147. Small Print statement, or can be in binary, compressed, mark-
  148. up, or proprietary form (including any form resulting from
  149. word processing or hypertext software), so long as *EITHER*:
  150.  
  151.      (1)  The etext, when displayed, is clearly readable, and
  152. does *not* contain characters other than those intended by the
  153. author of the work, although tilde (~), asterisk (*) and
  154. underline (_) characters may be used to convey punctuation
  155. intended by the author, and additional characters may be used
  156. to indicate hypertext links; OR
  157.  
  158.      (2)  The etext is readily convertible by the reader at no
  159. expense into plain ASCII, EBCDIC or equivalent form by the
  160. program that displays the etext (as is the case, for instance,
  161. with most word processors); OR
  162.  
  163.      (3)  You provide or agree to provide on request at no
  164. additional cost, fee or expense, a copy of the etext in plain
  165. ASCII.
  166.  
  167. LIMITED WARRANTY; DISCLAIMER OF DAMAGES
  168. This etext may contain a "Defect" in the form of incomplete,
  169. inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright
  170. or other infringement, a defective or damaged disk, computer
  171. virus, or codes that damage or cannot be read by your
  172. equipment.  But for the "Right of Replacement or Refund"
  173. described below, the Project (and any other party you may
  174. receive this etext from as a PROJECT GUTENBERG-tm etext)
  175. disclaims all liability to you for damages, costs and
  176. expenses, including legal fees, and YOU HAVE NO REMEDIES FOR
  177. NEGLIGENCE OR UNDER STRICT LIABILITY, OR FOR BREACH OF
  178. WARRANTY OR CONTRACT, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO INDIRECT,
  179. CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES, EVEN IF YOU
  180. GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGES.
  181.  
  182. If you discover a Defect in this etext within 90 days of
  183. receiving it, you can receive a refund of the money (if any)
  184. you paid for it by sending an explanatory note within that
  185. time to the person you received it from.  If you received it
  186. on a physical medium, you must return it with your note, and
  187. such person may choose to alternatively give you a replacement
  188. copy.  If you received it electronically, such person may
  189. choose to alternatively give you a second opportunity to
  190. receive it electronically.
  191.  
  192. THIS ETEXT IS OTHERWISE PROVIDED TO YOU "AS-IS".  NO OTHER
  193. WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, ARE MADE TO YOU AS
  194. TO THE ETEXT OR ANY MEDIUM IT MAY BE ON, INCLUDING BUT NOT
  195. LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR A
  196. PARTICULAR PURPOSE.  Some states do not allow disclaimers of
  197. implied warranties or the exclusion or limitation of
  198. consequential damages, so the above disclaimers and exclusions
  199. may not apply to you, and you may have other legal rights.
  200.  
  201. INDEMNITY
  202. You will indemnify and hold the Project, its directors,
  203. officers, members and agents harmless from all liability, cost
  204. and expense, including legal fees, that arise directly or
  205. indirectly from any of the following that you do or cause:
  206. [1] distribution of this etext, [2] alteration, modification,
  207. or addition to the etext, or [3] any Defect.
  208.  
  209. WHAT IF YOU *WANT* TO SEND MONEY EVEN IF YOU DON'T HAVE TO?
  210. Project Gutenberg is dedicated to increasing the number of
  211. public domain and licensed works that can be freely distributed
  212. in machine readable form.  The Project gratefully accepts
  213. contributions in money, time, scanning machines, OCR software,
  214. public domain etexts, royalty free copyright licenses,
  215. and whatever else you can think of.  Money should be paid to
  216. "Project Gutenberg Association / Illinois Benedictine College".
  217.  
  218. *SMALL PRINT! Ver.04.29.93 FOR COPYRIGHT PROTECTED ETEXTS*END*
  219.  
  220.  
  221.  
  222.  
  223.  
  224.  
  225. MENO II
  226.  
  227.  
  228.  
  229. A CONTINUATION OF SOCRATES' DIALOGUE WITH MENO
  230. IN WHICH THE BOY PROVES ROOT 2 IS IRRATIONAL
  231.  
  232. A Millennium Fulcrum Edition [Copyright 1995]
  233.  
  234.  
  235.  
  236. Socrates:  Well, here we are at the appointed time, Meno.
  237.  
  238. Meno:  Yes, and it looks like a fine day for it, too.
  239.  
  240. Socrates:  And I see our serving boy is also here.
  241.  
  242. Boy:  Yes, I am, and ready to do your bidding.
  243.  
  244. Socrates:  Wonderful.  Now, Meno, I want you to be on your guard,
  245. as you were the other day, to insure that I teach nothing to the boy,
  246. but rather pull out of his mind the premises which are already there.
  247.  
  248. Meno:  I shall do my best, Socrates.
  249.  
  250. Socrates:  I can ask more of no man, Meno, and I am certain that
  251. you will do well, and I hope I will give you no call to halt me
  252. in my saying if I should say too much, in which you would feel I
  253. was actually teaching the boy the answer to this riddle.
  254.  
  255. Meno:  No, Socrates, I don't think I will have to call you on
  256. anything you might say today, for the most wondrously learned men
  257. of the group of Pythagoras have spent many hours, weeks, and even
  258. months and years toiling in their manner to arrive at the mystic
  259. solutions to the puzzles formed by the simple squares with which
  260. we worked the other day.  Therefore, I am certain to regain my
  261. virtue, which I lost the other day, when I was so steadfastly
  262. proven by you to be in error in my statement that the root of a
  263. square with an area of two square feet was beyond this boy,
  264. who is a fine boy, whom we must make to understand that he should
  265. do his best here, and not feel that he has done any wrongness by
  266. causing me to lose my virtue to you the other day.
  267.  
  268. Socrates:  Meno, my friend, it is my opinion, and I hope it will
  269. soon be yours, that your virtue was increased the other day,
  270. rather than decreased.
  271.  
  272. Meno:  I fail to see how, when I was humiliated by seeing
  273. this young boy, of modest education, arrive in minutes at the
  274. highest mystic levels of the magic of the Pythagoreans.
  275. Most of all when I wagered as many dinners as you could eat
  276. at my house that this could not be the case.
  277.  
  278. Socrates:  First, friend Meno, let me assure you that I will
  279. promise never to eat you out of house and home, not that I could
  280. if I tried, for my tastes are simple and your wallet is large. 
  281. Nevertheless, Meno, my friend, I would hasten to add that I will
  282. promise, if you like, not to ever come to your table uninvited. 
  283.  
  284. As a second reason you and your virtue should feel better after
  285. the events of the other day, because you were in error before,
  286. but are less in error now.  And the path to virtue, at least one
  287. aspect of the path to virtue, is in finding and correcting error.
  288.  
  289. Meno:  Socrates, you know you are always welcome at my table,
  290. except when I am suffering from my ulcer, which you aggravate
  291. greatly, or at time when I am entertaining the highest nobles
  292. of the land, and you would appear out of place in your clothing.
  293. (Socrates was known for his simple attire, and for wearing his
  294. garments over and over till they wore out.  However, the only
  295. surviving example of his writing is a laundry list, so we know he
  296. kept his clothes clean and somewhat presentable, though simple)
  297.  
  298. Socrates:  I would hope you would have me over because I was
  299. a good influence on your development, than for any other reason. 
  300. I notice you did not respond to my claim to have increased
  301. your virtue, through the exorcism of your error.
  302.  
  303. Meno:  Well Socrates, you know that it is not always the
  304. easiest thing to give up one's ways, even though one has found
  305. them to be in error.  Therefore, please forgive me if I am not
  306. sounding as grateful as you would like for your lessons.
  307.  
  308. Socrates:  The easier one finds it to give up the ways of error,
  309. the easier it is to replace the error with that which we hope
  310. is not in error.  Is this not the way to virtue?
  311.  
  312. Meno:  Yes, Socrates, and you know the path is hard,
  313. and that we often stumble and fall.
  314.  
  315. Socrates:  Yes, but is it not true that we stumble and fall
  316. over the obstacles which we make for ourselves to trip over?
  317.  
  318. Meno:  Certainly that is most true, Socrates, in some cases.
  319.  
  320. Socrates:  Well, then, let us proceed, for I see the hour is upon us
  321. when I do my best thinking, and that hour shall be passed soon,
  322. and hopefully with it shall pass a bit of your ignorance.
  323.  
  324. Meno:  Well said, Socrates.  I am with you.
  325.  
  326. Socrates:  And shall have we a wager on the events of today?
  327.  
  328. Meno:  Certainly, Socrates.
  329.  
  330. Socrates:  And what shall you wager against this boy proving
  331. that the length of the root of a square with an area of two
  332. square feet, cannot be made by the ratio of two whole numbers?
  333.  
  334. Meno:  You may have anything it is in my power to give,
  335. unless it cause harm to myself or to another to give it.
  336.  
  337. Socrates:  Well said, my friend Meno, and I shall leave it at
  338. that.  And what shall I offer you as a return wager?
  339.  
  340. Meno:  Well, the easiest thing which comes to mind is to
  341. wager all those dinners you won from me the other day.
  342.  
  343. Socrates:  Very well, so be it.
  344.  
  345. Meno:  Now Socrates, since you are my friend, I must give you
  346. this friendly warning:  you know that the Pythagoreans jealously
  347. guard their secrets with secret meetings, protected by secret
  348. handshakes, secret signs, passwords, and all that, do you not?
  349.  
  350. Socrates:  I have heard as much, friend Meno.
  351.  
  352. Meno:  Then be sure that they will seek revenge upon you for
  353. demystifying the ideas and concepts which they worked so long and
  354. hard and secretly to create and protect; for they are a jealous lot
  355. in the extreme, hiding in mountain caves, which are hardly fit
  356. to be called monasteries by even the most hardened monk.
  357.  
  358. Socrates:  I take your meaning, friend Meno, and thank you
  359. for your consideration, but I think that if I lose, that they
  360. will not bother me, and if I win, it will appear so simple to
  361. everyone, that if would be sheerest folly for anyone to make
  362. even the smallest gesture to protect its fallen mystic secrecy. 
  363. Besides, I have a citizen's responsibility to Athens and to all
  364. Athenians to do my best to protect them and enlighten them.
  365.  
  366. Meno:  Very well, Socrates.  Please do not ever say that I did not
  367. try to warn you, especially after they have nailed you to a cross
  368. in a public place, where anyone and everyone could hear you say
  369. that the fault of this lay in my name.
  370.  
  371. Socrates:  Do not worry, friend Meno, for if I were not
  372. to show this simple feat of logic to you, I should just walk
  373. down the street and find someone else, though not someone whose
  374. company and conversation I should enjoy as much as yours.
  375.  
  376. Meno:  Thank you, friend Socrates.
  377.  
  378. Socrates:  Now, boy, do you remember me, and the squares with
  379. which we worked and played the other day?
  380.  
  381. Boy:  Yes, sir, Socrates.
  382.  
  383. Socrates:  Please, Meno, instruct the boy to merely call me
  384. by my name, as does everyone else.  Calling me "sir" merely puts
  385. me off my mental stride, and, besides, it will create a greater
  386. distance between me and the boy.
  387.  
  388. Meno:  You heard what Socrates, said, boy.  Can you do it?
  389.  
  390. Meno:  Yes, sir.  (Turning to Socrates)  You know I like you
  391. very much, and that I call you "sir" not only out of relation of
  392. our positions in society, but also because of my true respect and
  393. admiration, especially after the events of the other day.
  394.  
  395. Socrates:  Yes, boy.  And I will try to live up to your
  396. expectations.  (turning to Meno)  Would you allow some reward for
  397. the boy, as well as that which is for myself, if he should prove
  398. to your satisfaction that the square root of two is irrational?
  399.  
  400. Meno:  Certainly, Socrates.
  401.  
  402. Socrates:  (taking the boy aside)  What would you like
  403. the most in the whole world, boy?
  404.  
  405. Boy:  You mean anything?
  406.  
  407. Socrates:  Well, I can't guarantee to get it for you, but at
  408. least I can ask it, and it shouldn't hurt to ask; and besides,
  409. as you should know, it is very hard to expect someone to give
  410. you what you want, if you never let them know you want it.
  411.  
  412. Boy:  Well, Socrates . . . you know what I would want.
  413.  
  414. Socrates:  Do I?
  415.  
  416. Boy:  Better than I knew the square root of two the other day.
  417.  
  418. Socrates:  You want to be a free man, then, and a citizen.
  419.  
  420. Boy:  (looking down)  Yes.
  421.  
  422. Socrates:  Don't look down, then, for that is an admirable
  423. desire for one to have, and speaks highly of him who has it.
  424. I will speak to Meno, while you hold your tongue.
  425.  
  426. Boy:  Yes, Socrates.  (bows to kiss his hand, Socrates turns)
  427.  
  428. Socrates:  Friend Meno, how hard do you think it will be for
  429. this boy to prove the irrationality of the square root of two?
  430.  
  431. Meno:  You know that I think it is impossible, Socrates.
  432.  
  433. Socrates:  Well, how long did it take the Pythagoreans?
  434.  
  435. Meno:  I should think it took them years.
  436.  
  437. Socrates:  And how many of them were there?
  438.  
  439. Meno:  Quite a few, though not all worked equally, and some
  440. hardly at all, for they were most interested in triangles of the
  441. right and virtuous variety, and not in squares and their roots.
  442.  
  443. Socrates:  Can you give me an estimate?
  444.  
  445. Meno:  No, I can't say that I can.  I am sorry, Socrates.
  446.  
  447. Socrates:  No problem, would you accept five thinkers as an estimate.
  448.  
  449. Meno:  I think that should be fair.
  450.  
  451. Socrates:  And shall we assume they worked for two years,
  452. that is the smallest number which retains the plural,
  453. and our assumption was that they worked for years.
  454.  
  455. Meno:  Two years is indeed acceptable to me, Socrates.
  456.  
  457. Socrates:  Very well then, Meno, it would appear that the
  458. Pythagoreans spent 10 total years of thinking time to solve the
  459. riddles of the square root of two.
  460.  
  461. Meno:  I agree.
  462.  
  463. Socrates:  And would you like to hire the Pythagoreans
  464. to run your household, Meno?
  465.  
  466. Meno:  Surely I would, Socrates, if they were only for hire,
  467. but, as you well know, they are a secret lot, and hire to no one.
  468.  
  469. Socrates:  Well, if I could get you one, perhaps one of the
  470. best of them, in fact the leader of the group that solved the
  471. square root of two, would you not hire him, and at high wages?
  472.  
  473. Meno:  Certainly, Socrates.  I'd be a fool not to.
  474.  
  475. Socrates:  And you would put him in charge of your house.
  476.  
  477. Meno:  And all my lands, too, Socrates.
  478.  
  479. Socrates:  Possibly.  Then I would like to propose, that if
  480. this boy should solve the proof of the square root of two being
  481. irrational, in the next few hours of our discussion, that he be
  482. given wages equal to those due to your most highly placed servant
  483. for ten years of service, as he shall perform ten years service
  484. for you in the next few hours, should he succeed.
  485.  
  486. Meno:  That sound quite fair, Socrates, I like your logic.
  487.  
  488. Socrates:  (the boy tugs his tunic, to complain that he wants
  489. his freedom, not a mere bucket of gold)  Hush, boy, did you not
  490. promise to hold your tongue?
  491.  
  492. Boy:  Yes, Socrates, but . . . .
  493.  
  494. Socrates:  (turning to Meno)  And, of course, with the
  495. monetary rewards for such a position, go all the rest of it.
  496.  
  497. Meno:  Of course, Socrates.  I never thought to cheat you.
  498.  
  499. Socrates:  I know that, friend Meno, but I merely ask for the
  500. boy's sake, who is not used to hearing about high finance and
  501. the powers and rank which accompany such things.
  502.  
  503. Meno:  Of course, Socrates.  Shall I tell the boy what he
  504. shall receive?
  505.  
  506. Socrates:  You are very kind to do so, my friend Meno.
  507.  
  508. Meno:  (turns to the boy)  You are aware that a servant may
  509. not own the amount of gold I would have to give you,
  510. should you win the day?
  511.  
  512. Boy:  Yes, sir.
  513.  
  514. Meno:  Therefore, I would have to give to you the freedom to
  515. own the money, before I could give you the money, would I not?
  516.  
  517. Boy:  Yes, sir.
  518.  
  519. Meno:  And in giving you freedom, I would be remiss if I did
  520. not give you a job and a coming out party of equal position
  521. with your wealth, would I not?
  522.  
  523. Boy:  I can't really say, sir, though I suppose so.
  524.  
  525. Meno:  You suppose correctly.  I will feed you for a week of
  526. partying, and dress you in the finest garments, while you are
  527. introduced to the finest ladies and gentlemen of Athens, from
  528. whom you are free to select for your interests as friends,
  529. business partners, social acquaintances, connections, and perhaps
  530. even a wife, should you find someone you like for that.  Do you
  531. now understand that there is nothing I would leave out that you
  532. would have to ask for, or that if you did have to ask, I would
  533. give it immediately, and ask your forgiveness for my error?
  534.  
  535. Boy:  It is hard to understand, but I take your word.
  536.  
  537. Socrates:  Now don't let this all go to your head, boy.
  538. This is something you could have figured out for yourself,
  539. if you had applied your mind to it as you did to squares
  540. the other day.  Can you do as well, today?
  541.  
  542. Boy:  I should think and hope so, friend Socrates, for I see you
  543. are indeed my friend, and I should hope I am more capable today,
  544. for having learned some the other day.
  545.  
  546. Socrates:  We shall see, boy.  Let us on to the test.
  547. Now you remember the squares we dealt with the other day.
  548.  
  549. Boy:  Yes, Socrates.
  550.  
  551. Socrates:  And the one particular square on the diagonal we made,
  552. whose area was two, do you remember that one?
  553.  
  554. Boy:  Yes, Socrates.
  555.  
  556. Socrates:  And you remember that the length of the side of a square,
  557. when multiplied by itself, yields the area of the square.
  558.  
  559. Boy:  Everyone at school knows that, Socrates.
  560.  
  561. Socrates:  Well, maybe.  However, it is about that side,
  562. which when multiplied time itself yields an area of two,
  563. that I would like to speak further today.  How is that with you?
  564.  
  565. Boy:  That is fine, Socrates.  I remember that line,
  566. and I sort of liked it the best, if you know what I mean.
  567.  
  568. Socrates:  Good, then we should have a great time.
  569. Do you know how long that line is, boy?
  570.  
  571. Boy:  Well, I know that you both thought it wise when I said
  572. it was of a length which when made a square of, yielded a square
  573. with an area of two, so I suppose I should answer that way.
  574.  
  575. Socrates:  And a good answer it is, too.  We are going to
  576. make it an even better answer as we proceed.
  577.  
  578. Boy:  Good.
  579.  
  580. Socrates:  Do you remember when you tripped up and fell on
  581. your face the other day, when you thought that the square of area
  582. nine was actually a square of area eight?
  583.  
  584. Boy:  Oh yes, Socrates!  And I am sorely ashamed, because I still
  585. do not know enough to make sure I never make such an error again,
  586. and therefore I know my virtue and rightness are lacking.
  587.  
  588. Socrates:  They are not lacking so much that they cannot be improved,
  589. are they boy?
  590.  
  591. Boy:  I should hope and pray not.
  592.  
  593. Socrates:  Well today, you are going to tell us some things
  594. about that number, which when multiplied by itself gives us two.
  595.  
  596. Boy:  I will tell you everything I know, or think I know,
  597. Socrates, and hope that I am correct or can be corrected.
  598.  
  599. Socrates:  To Meno, surely he is a fine boy, eh Meno?
  600.  
  601. Meno:  Yes, I am proud to own him, but I don't see how he
  602. can be smart enough to do the work today that would take a
  603. Pythagorean monk ten years of cloistered life to accomplish.
  604.  
  605. Socrates:  We shall see.  Boy, you are doing fine.  I think I
  606. could even make a scholar of you, though I fear you might turn to
  607. wine and women with your new found wealth, if you succeed, rather
  608. than continue to polish the wit which should get you that reward.
  609.  
  610. Boy:  I don't think I would want to spend that much time with
  611. women or with wine, Socrates.
  612.  
  613. Socrates:  You will find something, no doubt.  So, back to
  614. the number which when square gives us two.  What can we say about
  615. such a number?  Is it odd or even?  Well it would have to be a
  616. whole number to be one of those, would it not, and we saw the
  617. other day what happens to whole numbers when they are squared? 
  618. They give us 1,4,9 and 16 as square areas, did they not?
  619.  
  620. Boy:  Yes, Socrates, though I remember thinking that there
  621. should have been a number which would give eight, Socrates?
  622.  
  623. Socrates:  I think we shall find one, if we keep searching. 
  624. Now, this number, do you remember if it had to be larger or
  625. smaller than one?
  626.  
  627. Boy:  Larger, Socrates.  For one squared gives only an area
  628. of one, and we need and area of two, which is larger.
  629.  
  630. Socrates:  Good.  And what of two?
  631.  
  632. Boy:  Two gives a square of four, which is too large.
  633.  
  634. Socrates:  Fine.  So the square root of two is smaller than
  635. the side two which is the root of four, and larger than the side
  636. one which yields one?
  637.  
  638. Boy:  Yes, Socrates.
  639.  
  640. Socrates:  (Turning to Meno)  So now he is as far as most of
  641. us get in determining the magnitude of the square root of two? 
  642. And getting farther is largely a matter of guesswork, is it not?
  643.  
  644. Meno:  Yes, Socrates, but I don't see how he will do it.
  645.  
  646. Socrates:  Neither does he.  But I do.  Watch!  (turning to
  647. the boy)  Now I am going to tell you something you don't know,
  648. so Meno will listen very closely to make sure he agrees that I can
  649. tell you.  You know multiplication, boy?
  650.  
  651. Boy:  I thought I had demonstrated that, Socrates?
  652.  
  653. Socrates:  So you have, my boy, has he not Meno?
  654.  
  655. Meno:  Yes, Socrates, I recall he did the other day.
  656.  
  657. Socrates:  And you know the way to undo multiplication?
  658.  
  659. Boy:  It is called division, but I do not know it as well as
  660. multiplication, since we have not studied it as long.
  661.  
  662. Socrates:  Well, I will not ask you to do much division, but
  663. rather I will ask you only whether certain answers may be
  664. called odd or even, and the like.  Does that suit you?
  665.  
  666. Boy:  It suits me well, Socrates.
  667.  
  668. Socrates:  Then you know what odd and even are, boy?
  669.  
  670. Boy:  Yes, shall I tell you?
  671.  
  672. Socrates:  Please do.  I would love to hear what they teach.
  673.  
  674. Boy: (the boy recites) A number can only be odd or even if it
  675. is a whole number, that is has no parts but only wholes of what
  676. it measures.  Even numbers are special in that they have only
  677. whole twos in them, with no ones left over, while odd numbers
  678. always have a one left over when all the twos are taken out.
  679.  
  680. Socrates:  An interesting, and somewhat effective definition. 
  681. Do you agree, Meno.
  682.  
  683. Meno:  Yes, Socrates.  Please continue.
  684.  
  685. Socrates:  Now boy, what do you get when you divide these
  686. odd and even numbers by other odd and even numbers.
  687.  
  688. Boy:  Sometimes you get whole numbers, especially when you
  689. divide an even number by an even number, but odd numbers
  690. sometimes give whole numbers, both odd and even, and sometimes
  691. they give numbers which are not whole numbers, but have parts.
  692.  
  693. Socrates:  Very good, and have your teachers ever called
  694. these numbers ratios?
  695.  
  696. Boy:  Sometimes, Socrates, but usually only with simple numbers
  697. which make one-half, one-third, two-thirds and the like.
  698.  
  699. Socrates:  Yes, that is usually what people mean by ratios. 
  700. The learned people call numbers made from the ratios, rational. 
  701. Does the name rational number suit you to call a number which can
  702. be expressed as the ratio of two whole numbers, whether they be
  703. odd or even whole number?
  704.  
  705. Boy:  You want me to call the numbers made from ratios of
  706. whole numbers something called rational?  A ratio makes a
  707. rational number?
  708.  
  709. Socrates:  Yes boy, can you do that?
  710.  
  711. Boy:  Certainly, Socrates.
  712.  
  713. Socrates:  Do you agree with the way I told him this, Meno? 
  714. Does it violate our agreement?
  715.  
  716. Meno:  You added -nal to the word ratio, just as we add -nal
  717. to the French work "jour" to create the word journal which mean
  718. something that contains words of the "jour" or of today.  So we
  719. now have a word which means a number made from a ratio.  This is
  720. more than acceptable to me, Socrates.  A sort of lesson in
  721. linguistics, perhaps, but certainly not in mathematics.  No, I do
  722. not see that you have told him how to solve anything about the
  723. square root of two, but thank you for asking.  I give you your
  724. journalistic license to do so.
  725.  
  726. Socrates:  Good.  Now boy, I need your attention.  Please get
  727. up and stretch, if it will help you stay and thing for awhile.
  728.  
  729. Boy:  (stretches only a little)  I am fine, Socrates.
  730.  
  731. Socrates:  Now think carefully, boy, what kind of ratios can
  732. we make from even numbers and odd numbers?
  733.  
  734. Boy:  We could make even numbers divided by odd numbers, and
  735. odd numbers divided by even numbers.
  736.  
  737. Socrates:  Yes, we could.  Could we make any other kind?
  738.  
  739. Boy:  Well . . . we could make even numbers divided by even
  740. numbers, or odd numbers divided by odd.
  741.  
  742. Socrates:  Very good.  Any other kind?
  743.  
  744. Boy:  I'm not sure, I can't think of any, but I might have to
  745. think a while to be sure.
  746.  
  747. Socrates:  (to Meno)  Are you still satisfied.
  748.  
  749. Meno:  Yes, Socrates.  He knows even and odd numbers, 
  750. and ratios; as do all the school children his age.
  751.  
  752. Socrates:  Very well, boy.  You have named four kinds of
  753. ratios:  Even over odd, odd over even, even over even, odd over
  754. odd, and all the ratios make numbers we call rational numbers.
  755.  
  756. Boy:  That's what it looks like, Socrates.
  757.  
  758. Socrates:  Meno, have you anything to contribute here?
  759.  
  760. Meno:  No, Socrates, I am fine.
  761.  
  762. Socrates:  Very well.  Now, boy, we are off in search of more
  763. about the square root of two.  We have divided the rational numbers
  764. into four groups, odd/even, even/odd, even/even, odd/odd?
  765.  
  766. Boy:  Yes.
  767.  
  768. Socrates:  And if we find another group we can include them. 
  769. Now, we want to find which one of these groups, if any, contains
  770. the number you found the other day, the one which squared is two.
  771.  
  772. Would that be fun to try?
  773.  
  774. Boy:  Yes, Socrates, and also educational.
  775.  
  776. Socrates:  I think we can narrow these four groups down to
  777. three, and thus make the search easier.  Would you like that?
  778.  
  779. Boy:  Certainly, Socrates.
  780.  
  781. Socrates:  Let's take even over even ratios.  What are they?
  782.  
  783. Boy:  We know that both parts of the ratio have two in them.
  784.  
  785. Socrates:  Excellent.  See, Meno, how well he has learned his
  786. lessons in school.  His teacher must be proud, for I have taught
  787. him nothing of this, have I?
  788.  
  789. Meno:  No, I have not seen you teach it to him,
  790. therefore he must have been exposed to it elsewhere.
  791.  
  792. Socrates:  (back to the boy)  And what have you learned about
  793. ratios of even numbers, boy?
  794.  
  795. Boy:  That both parts can be divided by two, to get the twos
  796. out, over and over, until one part becomes odd.
  797.  
  798. Socrates: Very good.  Do all school children know that, Meno?
  799.  
  800. Meno:  All the ones who stay away in class.  (he stretches)
  801.  
  802. Socrates:  So, boy, we can change the parts of the ratios,
  803. without changing the real meaning of the ratio itself?
  804.  
  805. Boy:  Yes, Socrates.  I will demonstrate, as we do in class. 
  806. Suppose I use 16 and 8, as we did the other day.  If I make a
  807. ratio of 16 divided by 8, I can divide both the 16 and the 8 by
  808. two and get 8 divided by 4.  We can see that 8 divided by four is
  809. the same as 16 divided by 8, each one is twice the other, as it
  810. should be.  We can then divide by two again and get 4 over 2, and
  811. again to get 2 over 1.  We can't do it again, so we say that this
  812. fraction has been reduced as far as it will go, and everything
  813. that is true of the other ways of expressing it is true of this.
  814.  
  815. Socrates:  Your demonstration is effective.  Can you divide
  816. by other numbers than two?
  817.  
  818. Boy:  Yes, Socrates.  We can divide by any number which goes
  819. as wholes into the parts which make up the ratio.  We could have
  820. started by dividing by 8 before, but I divided by three times,
  821. each time by two, to show you the process, though now I feel
  822. ashamed because I realize you are both masters of this,
  823. and that I spoke to you in too simple a manner.
  824.  
  825. Socrates:  Better to speak too simply, than in a manner in
  826. which part or all of your audience gets lost, like the Sophists.
  827.  
  828. Boy:  I agree, but please stop me if I get too simple.
  829.  
  830. Socrates:  I am sure we can survive a simple explanation. 
  831. (nudges Meno, who has been gazing elsewhere)  But back to your
  832. simple proof:  we know that a ratio of two even number can be
  833. divided until reduced until one or both its parts are odd?
  834.  
  835. Boy:  Yes, Socrates.  Then it is a proper ratio.
  836.  
  837. Socrates:  So we can eliminate one of our four groups, the
  838. one where even was divided by even, and now we have odd/odd,
  839. odd/even and even/odd?
  840.  
  841. Boy:  Yes, Socrates.
  842.  
  843. Socrates:  Let's try odd over even next, shall we?
  844.  
  845. Boy:  Fine.
  846.  
  847. Socrates:  What happens when you multiply an even number by
  848. an even number, what kind of number do you get, even or odd?
  849.  
  850. Boy:  Even, of course.  An even multiple of any whole number
  851. gives another even number.
  852.  
  853. Socrates:  Wonderful, you have answered two question, but we
  854. need only one at the moment.  We shall save the other.  So, with
  855. odd over even, if we multiply any of these times themselves, we
  856. well get odd times odd over even times even, and therefore odd
  857. over even, since odd times odd is odd and even of even is even.
  858.  
  859. Boy:  Yes.  A ratio of odd over even, when multiplied times
  860. itself, yields odd over even.
  861.  
  862. Socrates:  And can our square root of two be in that group?
  863.  
  864. Boy:  I don't know, Socrates.  Have I failed?
  865.  
  866. Socrates:  Oh, you know, you just don't know that you know. 
  867.  
  868. Try this:  after we multiply our number times itself,
  869. which the learned call "squaring" the number which is the root,
  870. we need to get a ratio in which the first or top number is twice
  871. as large as the second or bottom number.  Is this much correct?
  872.  
  873. Boy:  A ratio which when "squared" as you called it, yields
  874. an area of two, must then yield one part which is two times the
  875. other part.  That is the definition of a ratio of two to one.
  876.  
  877. Socrates:  So you agree that this is correct?
  878.  
  879. Boy:  Certainly.
  880.  
  881. Socrates:  Now if a number is to be twice a great as another,
  882. it must be two times that number?
  883.  
  884. Boy:  Certainly.
  885.  
  886. Socrates:  And if a number is two times any whole number,
  887. it must then be an even number, must it not?
  888.  
  889. Boy:  Yes, Socrates.
  890.  
  891. Socrates:  So, in our ratio we want to square to get two,
  892. the top number cannot be odd, can it?
  893.  
  894. Boy:  No, Socrates.  Therefore, the group of odd over even
  895. rational numbers cannot have the square root of two in it!
  896. Nor can the group ratios of odd numbers over odd numbers.
  897.  
  898. Socrates:  Wonderful.  We have just eliminated three of the
  899. four groups of rational numbers, first we eliminated the
  900. group of even over even numbers, then the ones with odd numbers
  901. divided by other numbers.  However, these were the easier part,
  902. and we are now most of the way up the mountain, so we must rest
  903. and prepare to try even harder to conquer the rest, where the
  904. altitude is highest, and the terrain is rockiest.  So let us sit
  905. and rest a minute, and look over what we have done, if you will.
  906.  
  907. Boy:  Certainly, Socrates, though I am much invigorated by
  908. the solution of two parts of the puzzle with one thought.
  909. It was truly wonderful to see such simple effectiveness.
  910. Are all great thoughts as simple as these, once you see them clearly?
  911.  
  912. Socrates:  What do you say, Meno?  Do thoughts get simpler as
  913. they get greater?
  914.  
  915. Meno:  Well, it would appear that they do, for as the master
  916. of a great house, I can just order something be done, and it is;
  917. but if I were a master in a lesser house, I would have to watch
  918. over it much more closely to insure it got done.  The bigger the
  919. decisions I have to make, the more help and advice I get in the
  920. making of them, so I would have to agree.
  921.  
  922. Socrates:  Glad to see that you are still agreeable, Meno,
  923. though I think there are some slight differences in the way each
  924. of us view the simplicity of great thought.  Shall we go on?
  925.  
  926. Meno:  Yes, quite.
  927.  
  928. Boy:  Yes, Socrates.  I am ready for the last group, the
  929. ratios of even numbers divided by the odd, though, I cannot yet
  930. see how we will figure these out, yet, somehow I have confidence
  931. that the walls of these numbers shall tumble before us, as did
  932. the three groups before them.
  933.  
  934. Socrates:  Let us review the three earlier groups, to prepare
  935. us for the fourth, and to make sure that we have not already
  936. broken the rules and therefore forfeited our wager.  The four
  937. groups were even over even ratios, which we decided could be
  938. reduced in various manners to the other groups by dividing until
  939. one number of the ratio was no longer even; then we eliminated
  940. the two other groups which had odd numbers divided by either odd
  941. or even numbers, because the first or top number had to be twice
  942. the second or bottom number, and therefore could not be odd;
  943. this left the last group we are now to greet, even divided by odd.
  944.  
  945. Boy:  Wonderfully put, Socrates.  It is amazing how neatly
  946. you put an hour of thinking into a minute.  Perhaps we can,
  947. indeed, put ten years of thinking into this one day.  Please
  948. continue in this manner, if you know how it can be done.
  949.  
  950. Socrates:  Would you have me continue, Meno?  You know what
  951. shall have to happen if we solve this next group and do not
  952. find the square root of two in it.
  953.  
  954. Meno:  Socrates, you are my friend, and my teacher, and a
  955. good companion.  I will not shirk my duty to you or to this fine
  956. boy, who appears to be growing beyond my head, even as we speak. 
  957. However, I still do not see that his head has reached the clouds
  958. wherein lie the minds of the Pythagoreans.
  959.  
  960. Socrates:  Very well, on then, to even over odd.  If we multiply
  961. these numbers times themselves, what do we get, boy?
  962.  
  963. Boy:  We will get a ratio of even over odd, Socrates.
  964.  
  965. Socrates:  And could an even number be double an odd number?
  966.  
  967. Boy:  Yes, Socrates.
  968.  
  969. Socrates:  So, indeed, this could be where we find a number
  970. such that when multiplied times itself yields an area of two?
  971.  
  972. Boy:  Yes, Socrates.  It could very well be in this group.
  973.  
  974. Socrates:  So, the first, or top number, is the result of an
  975. even number times itself?
  976.  
  977. Boy:  Yes.
  978.  
  979. Socrates:  And the second, or bottom number, is the result of
  980. an odd number times itself?
  981.  
  982. Boy:  Yes.
  983.  
  984. Socrates:  And an even number is two times one whole number?
  985.  
  986. Boy:  Of course.
  987.  
  988. Socrates:  So if we use this even number twice in multiplication,
  989. as we have on top, we have two twos times two whole numbers?
  990.  
  991. Boy:  Yes, Socrates.
  992.  
  993. Socrates:  (nudges Meno) and therefore the top number is four
  994. times some whole number times that whole number again?
  995.  
  996. Boy:  Yes, Socrates.
  997.  
  998. Socrates:  And this number on top has to be twice the number
  999. on the bottom, if the even over odd number we began with is to
  1000. give us two when multiplied by itself, or squared, as we call it?
  1001.  
  1002. Boy:  Yes, Socrates.
  1003.  
  1004. Socrates:  And if the top number is four times some whole number,
  1005. then a number half as large would have to be two times that same whole number?
  1006.  
  1007. Boy:  Of course, Socrates.
  1008.  
  1009. Socrates:  So the number on the bottom is two times that whole number,
  1010. whatever it is?
  1011.  
  1012. Boy:  Yes, Socrates.
  1013.  
  1014. Socrates:  (standing)  And if it is two times a whole number,
  1015. then it must be an even number, must it not?
  1016.  
  1017. Boy:  Yes.
  1018.  
  1019. Socrates:  Then is cannot be a member of the group which has
  1020. an odd number on the bottom, can it?
  1021.  
  1022. Boy:  No, Socrates.
  1023.  
  1024. Socrates:  So can it be a member of the ratios created by an
  1025. even number divided by an odd number and then used as a root
  1026. to create a square?
  1027.  
  1028. Boy:  No, Socrates.  And that must mean it can't be a member
  1029. of the last group, doesn't it?
  1030.  
  1031. Socrates:  Yes, my boy, although I don't see how we can
  1032. continue calling you boy, since you have now won your freedom,
  1033. and are far richer than I will ever be.
  1034.  
  1035. Boy:  Are you sure we have proved this properly?  Let me go
  1036. over it again, so I can see it in my head.
  1037.  
  1038. Socrates:  Yes, my boy, er, ah, sir.
  1039.  
  1040. Boy:  We want to see if this square root of two we discovered
  1041. the other day is a member of the rational numbers?
  1042.  
  1043. Socrates:  Yes.
  1044.  
  1045. Boy:  So we define the rational numbers as numbers made from
  1046. the division into ratios of whole numbers, whether those whole
  1047. numbers are even or odd.
  1048.  
  1049. Socrates:  Yes.
  1050.  
  1051. Boy:  We get four groups, even over even, which we don't use,
  1052. odd over even, odd over odd, and even over odd.
  1053.  
  1054. Socrates:  Continue.
  1055.  
  1056. Boy:  We know the first number in the squared ratio cannot be odd
  1057. because it must be twice the value of the second number,
  1058. and therefore is must be an even number, two times a whole number. 
  1059. Therefore it cannot be a member of either of the next groups,
  1060. because they both have whole numbers over odd numbers.
  1061.  
  1062. Socrates:  Wonderful!
  1063.  
  1064. Boy:  So we are left with one group, the evens over odds.
  1065.  
  1066. Socrates:  Yes.
  1067.  
  1068. Boy:  When we square an even over odd ratio, the first number
  1069. becomes even times even, which is two times two times some other
  1070. whole number, which means it is four times the whole number,
  1071. and this number must be double the second number, which is odd,
  1072. as it was made of odd times odd.  But the top number cannot be double
  1073. some bottom odd number because the top number is four times some
  1074. whole number, and the bottom number is odd--but a number which is
  1075. four times another whole number, cannot be odd when cut in half,
  1076. so an even number times an even number can never be double what
  1077. you would get from any odd number times another odd number. . .
  1078.  
  1079. therefore none of these rational numbers, when multiplied times
  1080. themselves, could possibly yield a ratio in which the top number
  1081. was twice the bottom number.  Amazing.  We have proved that the
  1082. square root of two is not a rational number.  Fantastic!
  1083.  
  1084. (he continues to wander up and down the stage, reciting various
  1085. portions of the proof to himself, looking up, then down, then all
  1086. around.  He comes to Meno)
  1087.  
  1088. Boy:  Do you see?  It's so simple, so clear.  This is really wonderful!
  1089. This is fantastic!
  1090.  
  1091. Socrates:  (lays an arm on Meno's arm)  Tell him how happy
  1092. you are for his new found thoughts, Meno, for you can easily tell
  1093. he is not thinking at all of his newly won freedom and wealth.
  1094.  
  1095. Meno:  I quite agree with you, son, the clarity of your
  1096. reasoning is truly astounding.  I will leave you here with
  1097. Socrates, as I go to prepare my household.  I trust you will
  1098. both be happy for the rest of the day without my assistance.
  1099.  
  1100. [The party, the presentation of 10 years salary to the newly
  1101. freed young man, is another story, as is the original story
  1102. of the drawing in the sant the square with an area of two.]
  1103.  
  1104. End of Project Gutenberg's Etext of the Second Story of Meno
  1105.  
  1106.  
  1107.  
  1108.